Le groupe multiplicatif des inversibles de Z/nZ est il monogène?

on sait que Z/nZ est un groupe cyclique(monogène fini) pour + pour * il n'est pas tjrs un groupe mais ses inversibles (par rapport à * bien sûr) forment un groupe ainsi ds un cas particulier :(Z/pZ)*=Z/pZ\{0} pour p premier est un groupe car ttes les classes sauf zero st inversibles & ainsi Z/pZ est un corps ssi p est premier la question est est ce que le groupe des inversibles est cyclique @chnico merci pour votre essai votre réponse n'est pas convenable! Ma question est sur les Z/nZ Mais votre Z/2ZXZ/2Z est le produit de deux Z/2Z ce qui n'est pas équivalent à un Z/nZ forcément @Arnauud m... MERCI beauucoup! votre réponse est instructive! l'exemple de Z/12Z est pertinent! vous avez raison pour votre remarque & il m'arrive tjrs d'oublier de rappeler que 0 n'est pas inversible(surtout qd je suis pressé).Je sous-entendais: Z/nZ\{classe0} n'est pas tjrs un groupe! il y a auussi une faute qui a glissé ds votre réponse & je pense à cause de la précipitation ! vs avez dit:un groupe d'ordre n est constitué essentiellement des racines niemes de l'unité!vous savez que c faux sinon tout groupe d'ordre n serait cyclique en particulier votre groupe des inversibles de Z/12Z,à savoir{1,5,7,11}serait cyclique car il est d'ordre n=4 ce & vous venez de montrer le contraire! vous vouliez p-être dire que tt gr monogène d'ordre n est isomorphe au gr des racines nieme de 1. vs avez aussi dit que pr tt corps fini d'ordre n son groupe multiplicatif est cyclique! je pense que c pas vrai pour tt corps fini car les corps finis ne st pas slt Z/pZ pr p premier.y en a d'autres @Arnaud je vous invite à consulter mes questions pour y répondre ds la mesure du possible!! merci d'avance!!

le groupe multiplicatif des inversibles de Z/nZ est il monogène?
non lorsque l'on a n = 2 a la puissance un entier a >= 3 (n = 2^a), on obtient pour le groupe multiplicatif le produit direct : Z/2Z x Z/2^(a-2)Z qui n'est pas monogène --------------------------------------------------------------------------------- On a bien : tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps quelconque est cyclique. Voir le livre de Pierre Samuel. Cela provient de la théorie des modules. Je n'ai pas compris votre question alors. J'avais compris que, à partir de Z/nZ (où n quelconque) est-ce que son groupe des éléments inversibles est cyclique? Ce à quoi j'avais répondu non et avec pour exemple Z/nZ avec n = 2^a avec a >= 3. voila @+

le groupe multiplicatif des inversibles de Z/nZ est il monogène?
Tout sous groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps est cyclique. (essentiellement un sous groupe d'ordre n est essentiellement constitué des racines n-ièmes de l'unité) En particulier le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique. Cela répond à la question lorsrque n est premier. Mais lorsque n n'est pas premier, ce n'est pas toujours vrai, et ce n'est pas toujours faux. Contre exemple où c'est vrai : n = 4. Les inversibles sont 1 et 3 et forment un groupe monogène (engendré par 3). Contre exemple où c'est faux : n = 12. Les inversibles sont 1, 5, 7, 11. Ils sont tous d'ordre 1 ou 2 dans le groupe multiplicatif, donc celui-ci est isomorphe à Z/2Z x Z/2Z et n'est pas cyclique. On pourrait dire, tiens, dans l'exemple où c'est vrai, n est une puissance d'un nombre premier et pas dans celui où c'est faux. Cela ne se généralise pas : Contre-exemple où c'est vrai mais n n'est pas une puissance d'un nombre premier : n = 6. Contre exemple où c'est faux et n est une puissance d'un nombre premier : n = 8. Précision : dans ta question tu dis que pour la multiplication Z/nZ n'est "pas toujours" un groupe. Z/nZ n'est jamais un groupe pour la multiplication ! ----------------------------------------------------- Je maintiens ce que j'ai dit : à savoir tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps est cyclique, et est constitué des racines n-ièmes de l'unité du corps en question, où n est l'ordre du sous-groupe. Ca ne veut pas dire que tout groupe fini est cyclique ! De plus le théorème que j'ai énoncé en début de réponse implique bien que le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique. Essayez avec quelques exemples sachant que les corps finis s'obtiennent tous comme corps de rupture de polynômes irréductibles sur Z/nZ. C'est-à-dire que tout corps fini a pour cardinal une puissance d'un nombre premier et pour trouver le corps de cardinal p^n (il n'y en a qu'un à isomorphisme près) il suffit de trouver un polynôme irréductible de Z/pZ [X] et de considérer le quotient de Z/pZ [X] par l'idéal engendré par ce polynôme. amicalement Arnaud